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title: Durchbiegung eines Einfeldträgers unter Gleichstreckenlast
author: Filip Hokeš
date: 2026-09-04
version: "1.2"
lang: de
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## Einleitung
Diese Studie behandelt die Durchbiegung eines Einfeldträgers mit der
Spannweite $L$ unter einer Gleichstreckenlast $q$. Ziel ist es, die
geschlossene analytische Lösung mit einer numerischen Lösung nach dem
Differenzenverfahren[^dv] zu vergleichen und zu zeigen, unter welchen
Bedingungen die Bernoulli-Navier-Hypothese ausreicht. In den 1960er-Jahren
las man solche Werte aus Tafeln ab; heute genügt ein Skript mit wenigen
Dutzend Zeilen.
[^dv]: Differenzenverfahren (Methode der finiten Differenzen) — die
Ableitungen der Differentialgleichung werden durch Differenzenquotienten
auf einem regelmäßigen Netz ersetzt. Nicht zu verwechseln mit der
Finite-Elemente-Methode, die eine Näherungslösung in schwacher
Formulierung über Elementansatzfunktionen sucht.
Die maximale Durchbiegung in Feldmitte beträgt
$$w_{\max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I},$$
wobei $E$ der Elastizitätsmodul und $I$ das Flächenträgheitsmoment ist.
Für Stahl gilt $E = 210\,\mathrm{GPa}$; Holz ist rund zehnmal weicher.
Die Norm begrenzt die bezogene Durchbiegung $w_{\max}/L$ üblicherweise
auf 1/250.
Die Formel beruht auf der Bernoulli-Navier-Hypothese, die den Schubanteil
der Durchbiegung vernachlässigt. Über dessen Größe entscheidet nicht die
Schlankheit an sich, sondern das **Verhältnis von Biege- zu Schubsteifigkeit**:
für Gleichlast gilt
$$\frac{w_{\mathrm{V}}}{w_{\mathrm{M}}} = \frac{q L^2 / (8\,G\,A_{\mathrm{s}})}
{5\,q\,L^4 / (384\,E\,I)} = 9{,}6\,\frac{E\,I}{G\,A_{\mathrm{s}}\,L^2},$$
wobei $G$ der Schubmodul und $A_{\mathrm{s}}$ die Schubfläche ist. Erst beim
homogenen Rechteckquerschnitt vereinfacht sich der Ausdruck zu
$\approx 2{,}5\,(h/L)^2$ — für $h/L = 1/20$ macht der Schubanteil also etwa
0,6 % aus, woher die bekannte Schlankheitsfaustregel stammt. Bei
Querschnitten mit kleinem $G\,A_{\mathrm{s}}$ — z. B. Sandwich-,
dünnwandigen oder Verbundprofilen — kann der Schub jedoch auch bei sehr
schlanken Trägern relevant sein, d. h. die Timoshenko-Theorie ist dann
angebracht.
## Eingangsdaten und Parameterstudie
Die folgende Tabelle fasst eine Parameterstudie mit 36 Kombinationen aus
Spannweite und Last zusammen. Sie läuft absichtlich über eine Seite, um die
Wiederholung des Tabellenkopfs im Druck zu prüfen.
| Nr. | L [m] | q [kN/m] | E [GPa] | I [10⁻⁶ m⁴] | w_max [mm] | w/L [–] |
|---:|------:|---------:|--------:|------------:|-----------:|--------:|
| 1 | 3,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 0,60 | 1/4970 |
| 2 | 3,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 1,21 | 1/2485 |
| 3 | 3,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 1,81 | 1/1657 |
| 4 | 3,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 1,12 | 1/3133 |
| 5 | 3,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 2,23 | 1/1567 |
| 6 | 3,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 3,35 | 1/1044 |
| 7 | 4,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 1,90 | 1/2100 |
| 8 | 4,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 3,81 | 1/1050 |
| 9 | 4,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 5,71 | 1/700 |
| 10 | 4,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 3,05 | 1/1475 |
| 11 | 4,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 6,10 | 1/738 |
| 12 | 4,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 9,15 | 1/492 |
| 13 | 5,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 4,65 | 1/1075 |
| 14 | 5,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 9,30 | 1/538 |
| 15 | 5,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 13,95 | 1/358 |
| 16 | 5,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 6,81 | 1/808 |
| 17 | 5,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 13,62 | 1/404 |
| 18 | 5,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 20,43 | 1/269 |
| 19 | 6,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 9,64 | 1/622 |
| 20 | 6,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 19,28 | 1/311 |
| 21 | 6,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 28,93 | 1/207 |
| 22 | 6,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 13,29 | 1/489 |
| 23 | 6,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 26,57 | 1/245 |
| 24 | 6,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 39,86 | 1/163 |
| 25 | 7,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 17,86 | 1/392 |
| 26 | 7,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 35,71 | 1/196 |
| 27 | 7,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 53,57 | 1/131 |
| 28 | 7,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 23,54 | 1/319 |
| 29 | 7,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 47,08 | 1/159 |
| 30 | 7,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 70,62 | 1/106 |
| 31 | 8,0 | 5,0 | 210 | 83,3 | 30,48 | 1/262 |
| 32 | 8,0 | 10,0 | 210 | 83,3 | 60,95 | 1/131 |
| 33 | 8,0 | 15,0 | 210 | 83,3 | 91,43 | 1/87 |
| 34 | 8,5 | 5,0 | 210 | 83,3 | 38,84 | 1/219 |
| 35 | 8,5 | 10,0 | 210 | 83,3 | 77,68 | 1/109 |
| 36 | 8,5 | 15,0 | 210 | 83,3 | 116,52 | 1/73 |
Spannweiten über 8,0 m verletzen den Grenzwert 1/250 deutlich und verlangen
einen höheren Querschnitt oder eine Überhöhung.
## Berechnungsskript
Die analytische Lösung wird durch das folgende Skript geprüft. Die Zeilen
sind absichtlich lang, um den Zeilenumbruch im Druck zu testen.
```python
"""Durchbiegung des Einfeldträgers: analytisch vs. numerisch (Differenzenverfahren)."""
import numpy as np
def analytische_loesung(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
"""Biegelinie w(x) = q x (L^3 - 2 L x^2 + x^3) / (24 E I)."""
x = np.linspace(0.0, L, n)
return q * x * (L**3 - 2.0 * L * x**2 + x**3) / (24.0 * E * I)
def numerische_loesung(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
"""Löst E I w'''' = q mit finiten Differenzen und w(0) = w(L) = 0, w''(0) = w''(L) = 0."""
h = L / (n - 1)
A = np.zeros((n, n)); b = np.full(n, q * h**4 / (E * I))
for i in range(2, n - 2):
A[i, i-2:i+3] = [1.0, -4.0, 6.0, -4.0, 1.0]
A[0, 0] = A[n-1, n-1] = 1.0; b[0] = b[n-1] = 0.0 # w = 0 an den Auflagern
A[1, 0:3] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[1] = 0.0 # w'' = 0 (Gelenk links)
A[n-2, n-3:n] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[n-2] = 0.0 # w'' = 0 (Gelenk rechts)
return np.linalg.solve(A, b)
if __name__ == "__main__":
L, q, E, I = 6.0, 10_000.0, 210e9, 83.3e-6
w_a = analytische_loesung(L, q, E, I)
w_n = numerische_loesung(L, q, E, I)
print(f"analytisch w_max = {1000 * w_a.max():.3f} mm, numerisch w_max = {1000 * w_n.max():.3f} mm")
print(f"relative Abweichung = {abs(w_n.max() - w_a.max()) / w_a.max():.2e}")
```
## Grafische Ergebnisse
Die Biegelinien beider Lösungen zeigt die folgende Abbildung.
Das statische System, gespeichert unter demselben Dateinamen in einem
anderen Ordner:
## Quelle vs. Ergebnis
Dieses Dokument entstand aus reinem Markdown. Der folgende Block ist der
wörtliche Quelltext (in Codeblöcken werden die typografischen Regeln
absichtlich nicht angewendet):
```markdown
Er sagte "die Spannweite beträgt 6 m" - d. h. auf S. 12 steht ein
Querschnitt 40x60 mm, geprüft am 1. 10. 2026 bei 25 °C... Vgl. Nr. 5.
```
Und so setzt mdprint denselben Text:
Er sagte "die Spannweite beträgt 6 m" - d. h. auf S. 12 steht ein
Querschnitt 40x60 mm, geprüft am 1. 10. 2026 bei 25 °C... Vgl. Nr. 5.
Der Unterschied liegt in den Details, die über die Lesbarkeit entscheiden:
Gänsefüßchen, Gedankenstrich, geschützte Leerzeichen in Abkürzung, Datum
und Einheit, echtes Malzeichen und Auslassungspunkte. Mathematik wird
gesetzt; Code und Pfade bleiben unberührt.
## Fazit
Die numerische Lösung weicht um weniger als 0,01 % von der analytischen ab,
was beide Ansätze bestätigt. Die Beziehung
$w(x) = \frac{q x (L^3 - 2Lx^2 + x^3)}{24 E I}$ eignet sich daher für
schnelle Nachweise[^nachweis]. Zum Abschluss eine Definition:
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
: Zustand, bei dessen Überschreitung das Tragwerk die Nutzungsanforderungen
nicht mehr erfüllt, obwohl kein Versagen eintritt.
[^nachweis]: Ein Nachweis nach EN 1990 erfordert Lastkombinationen, die
dieser Text der Kürze halber auslässt.