Durchbiegung eines Einfeldträgers unter Gleichstreckenlast

Einleitung

Diese Stu­die behan­delt die Durch­bie­gung eines Ein­feld­trä­gers mit der Spann­weite $L$ unter einer Gleich­stre­cken­last $q$. Ziel ist es, die geschlos­sene ana­ly­ti­sche Lösung mit einer nume­ri­schen Lösung nach dem Dif­fe­ren­zen­ver­fah­ren¹ zu ver­glei­chen und zu zei­gen, unter wel­chen Bedin­gun­gen die Ber­noulli-Navier-Hypo­these aus­reicht. In den 1960er-Jah­ren las man sol­che Werte aus Tafeln ab; heute genügt ein Skript mit weni­gen Dut­zend Zei­len.

Die maxi­male Durch­bie­gung in Feld­mitte beträgt

$$w_{\max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I},$$

wobei $E$ der Elas­ti­zi­täts­mo­dul und $I$ das Flä­chen­träg­heits­mo­ment ist. Für Stahl gilt $E = 210\,\mathrm{GPa}$; Holz ist rund zehn­mal wei­cher. Die Norm begrenzt die bezo­gene Durch­bie­gung $w_{\max}/L$ übli­cher­weise auf 1/250.

Die For­mel beruht auf der Ber­noulli-Navier-Hypo­these, die den Schub­an­teil der Durch­bie­gung ver­nach­läs­sigt. Über des­sen Größe ent­schei­det nicht die Schlank­heit an sich, son­dern das Ver­hält­nis von Biege- zu Schub­stei­fig­keit: für Gleich­last gilt

$$\frac{w_{\mathrm{V}}}{w_{\mathrm{M}}} = \frac{q L^2 / (8\,G\,A_{\mathrm{s}})} {5\,q\,L^4 / (384\,E\,I)} = 9{,}6\,\frac{E\,I}{G\,A_{\mathrm{s}}\,L^2},$$

wobei $G$ der Schub­mo­dul und $A_{\mathrm{s}}$ die Schub­flä­che ist. Erst beim homo­ge­nen Recht­eck­quer­schnitt ver­ein­facht sich der Aus­druck zu $\approx 2{,}5\,(h/L)^2$ — für $h/L = 1/20$ macht der Schub­an­teil also etwa 0,6 % aus, woher die bekannte Schlank­heits­faust­re­gel stammt. Bei Quer­schnit­ten mit klei­nem $G\,A_{\mathrm{s}}$ — z. B. Sand­wich-, dünn­wan­di­gen oder Ver­bund­pro­fi­len — kann der Schub jedoch auch bei sehr schlan­ken Trä­gern rele­vant sein, d. h. die Timos­henko-Theo­rie ist dann ange­bracht.

Eingangsdaten und Parameterstudie

Die fol­gende Tabelle fasst eine Para­me­ter­stu­die mit 36 Kom­bi­na­tio­nen aus Spann­weite und Last zusam­men. Sie läuft absicht­lich über eine Seite, um die Wie­der­ho­lung des Tabel­len­kopfs im Druck zu prü­fen.

Spann­wei­ten über 8,0 m ver­let­zen den Grenz­wert 1/250 deut­lich und ver­lan­gen einen höhe­ren Quer­schnitt oder eine Über­hö­hung.

Berechnungsskript

Die ana­ly­ti­sche Lösung wird durch das fol­gende Skript geprüft. Die Zei­len sind absicht­lich lang, um den Zei­len­um­bruch im Druck zu tes­ten.

"""Durchbiegung des Einfeldträgers: analytisch vs. numerisch (Differenzenverfahren)."""
import numpy as np

def analytische_loesung(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
    """Biegelinie w(x) = q x (L^3 - 2 L x^2 + x^3) / (24 E I)."""
    x = np.linspace(0.0, L, n)
    return q * x * (L**3 - 2.0 * L * x**2 + x**3) / (24.0 * E * I)

def numerische_loesung(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
    """Löst E I w'''' = q mit finiten Differenzen und w(0) = w(L) = 0, w''(0) = w''(L) = 0."""
    h = L / (n - 1)
    A = np.zeros((n, n)); b = np.full(n, q * h**4 / (E * I))
    for i in range(2, n - 2):
        A[i, i-2:i+3] = [1.0, -4.0, 6.0, -4.0, 1.0]
    A[0, 0] = A[n-1, n-1] = 1.0; b[0] = b[n-1] = 0.0          # w = 0 an den Auflagern
    A[1, 0:3] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[1] = 0.0                   # w'' = 0 (Gelenk links)
    A[n-2, n-3:n] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[n-2] = 0.0             # w'' = 0 (Gelenk rechts)
    return np.linalg.solve(A, b)

if __name__ == "__main__":
    L, q, E, I = 6.0, 10_000.0, 210e9, 83.3e-6
    w_a = analytische_loesung(L, q, E, I)
    w_n = numerische_loesung(L, q, E, I)
    print(f"analytisch w_max = {1000 * w_a.max():.3f} mm, numerisch w_max = {1000 * w_n.max():.3f} mm")
    print(f"relative Abweichung = {abs(w_n.max() - w_a.max()) / w_a.max():.2e}")

Grafische Ergebnisse

Die Bie­gel­i­nien bei­der Lösun­gen zeigt die fol­gende Abbil­dung.

Das sta­ti­sche Sys­tem, gespei­chert unter dem­sel­ben Datei­na­men in einem ande­ren Ord­ner:

Quelle vs. Ergebnis

Die­ses Doku­ment ent­stand aus rei­nem Mark­down. Der fol­gende Block ist der wört­li­che Quell­text (in Code­blö­cken wer­den die typo­gra­fi­schen Regeln absicht­lich nicht ange­wen­det):

Er sagte "die Spannweite beträgt 6 m" - d. h. auf S. 12 steht ein
Querschnitt 40x60 mm, geprüft am 1. 10. 2026 bei 25 °C... Vgl. Nr. 5.

Und so setzt mdprint den­sel­ben Text:

Er sagte „die Spann­weite beträgt 6 m“ – d. h. auf S. 12 steht ein Quer­schnitt 40×60 mm, geprüft am 1. 10. 2026 bei 25 °C… Vgl. Nr. 5.

Der Unter­schied liegt in den Details, die über die Les­bar­keit ent­schei­den: Gän­se­füß­chen, Gedan­ken­strich, geschützte Leer­zei­chen in Abkür­zung, Datum und Ein­heit, ech­tes Mal­zei­chen und Aus­las­sungs­punkte. Mathe­ma­tik wird gesetzt; Code und Pfade blei­ben unbe­rührt.

Fazit

Die nume­ri­sche Lösung weicht um weni­ger als 0,01 % von der ana­ly­ti­schen ab, was beide Ansätze bestä­tigt. Die Bezie­hung $w(x) = \frac{q x (L^3 - 2Lx^2 + x^3)}{24 E I}$ eig­net sich daher für schnelle Nach­weise². Zum Abschluss eine Defi­ni­tion:

Grenz­zu­stand der Gebrauchs­taug­lich­keit

Zustand, bei des­sen Über­schrei­tung das Trag­werk die Nut­zungs­an­for­de­run­gen nicht mehr erfüllt, obwohl kein Ver­sa­gen ein­tritt.