Průhyb prostě podepřeného nosníku za rovnoměrného zatížení

Úvod

Tato stu­die se zabývá prů­hy­bem prostě pode­pře­ného nos­níku o rozpětí $L$, zatí­že­ného rov­no­měr­ným spo­ji­tým zatí­že­ním $q$. Cílem je porov­nat uza­vřené ana­ly­tické řešení s nume­ric­kým řeše­ním meto­dou sítí¹ a uká­zat, za jakých pod­mí­nek vysta­číme s Ber­noul­liho–Navie­ro­vou hypo­té­zou. V šede­sá­tých letech 20. sto­letí se k výpo­čtu pou­ží­valy tabulky, např. dle prof. Šmi­řáka; dnes výpo­čet zvládne i skript o desít­kách řádků.

Maxi­mální prů­hyb upro­střed rozpětí je dán vzta­hem

$$w_{\max} = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I},$$

kde $E$ je modul pruž­nosti mate­ri­álu a $I$ moment setr­vač­nosti prů­řezu. Pro ocel je typicky $E = 210\,\mathrm{GPa}$; u dřeva počí­táme s hod­no­tou řádově desetkrát nižší. Poměrný prů­hyb $w_{\max}/L$ nemá dle normy pře­kro­čit hod­notu 1/250.

Uve­dený vztah plyne z Ber­noul­liho–Navie­rovy hypo­tézy, která zane­dbává smy­ko­vou složku prů­hybu. O její veli­kosti neroz­ho­duje štíh­lost sama o sobě, ale poměr ohy­bové a smy­kové tuhosti: pro rov­no­měrné zatí­žení platí

$$\frac{w_{\mathrm{V}}}{w_{\mathrm{M}}} = \frac{q L^2 / (8\,G\,A_{\mathrm{s}})} {5\,q\,L^4 / (384\,E\,I)} = 9{,}6\,\frac{E\,I}{G\,A_{\mathrm{s}}\,L^2},$$

kde $G$ je modul pruž­nosti ve smyku a $A_{\mathrm{s}}$ smy­ková plo­cha prů­řezu. Teprve u homo­gen­ního obdél­ní­ko­vého prů­řezu se výraz zjed­no­duší na $\approx 2{,}5\,(h/L)^2$, takže pro $h/L = 1/20$ činí smy­ková složka asi 0,6 % — odtud pochází zažité pra­vi­dlo o štíh­losti. U sendvi­čo­vých, ten­kostěn­ných či kom­po­zit­ních prů­řezů s níz­kým $G\,A_{\mathrm{s}}$ však může být smyk významný i u velmi štíhlého nos­níku a je namístě Timoshen­kova teo­rie.

Vstupní data a parametrická studie

Násle­du­jící tabulka shr­nuje výsledky para­me­t­rické stu­die pro 36 kom­bi­nací rozpětí a zatí­žení. Tabulka záměrně pře­sa­huje jednu stránku, aby ově­řila opa­ko­vání hla­vičky při tisku.

Výsledky pro rozpětí nad 8,0 m poměrný prů­hyb 1/250 zjevně nespl­ňují a vyža­dují buď vyšší prů­řez, nebo nadvý­šení.

Výpočetní skript

Ana­ly­tické řešení ově­řuje násle­du­jící skript. Řádky jsou záměrně dlouhé, aby pro­vě­řily zala­mo­vání kódu při tisku.

"""Průhyb prostě podepřeného nosníku: analyticky vs. numericky (metoda sítí)."""
import numpy as np

def analyticke_reseni(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
    """Vrátí průhybovou čáru w(x) dle vztahu w(x) = q x (L^3 - 2 L x^2 + x^3) / (24 E I)."""
    x = np.linspace(0.0, L, n)
    return q * x * (L**3 - 2.0 * L * x**2 + x**3) / (24.0 * E * I)

def numericke_reseni(L: float, q: float, E: float, I: float, n: int = 101) -> np.ndarray:
    """Řeší E I w'''' = q metodou sítí s okrajovými podmínkami w(0) = w(L) = 0, w''(0) = w''(L) = 0."""
    h = L / (n - 1)
    A = np.zeros((n, n)); b = np.full(n, q * h**4 / (E * I))
    for i in range(2, n - 2):
        A[i, i-2:i+3] = [1.0, -4.0, 6.0, -4.0, 1.0]
    A[0, 0] = A[n-1, n-1] = 1.0; b[0] = b[n-1] = 0.0          # w = 0 v podporách
    A[1, 0:3] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[1] = 0.0                   # w'' = 0 (kloub vlevo)
    A[n-2, n-3:n] = [1.0, -2.0, 1.0]; b[n-2] = 0.0             # w'' = 0 (kloub vpravo)
    return np.linalg.solve(A, b)

if __name__ == "__main__":
    L, q, E, I = 6.0, 10_000.0, 210e9, 83.3e-6
    w_a = analyticke_reseni(L, q, E, I)
    w_n = numericke_reseni(L, q, E, I)
    print(f"analyticky w_max = {1000 * w_a.max():.3f} mm, numericky w_max = {1000 * w_n.max():.3f} mm")
    print(f"relativní odchylka = {abs(w_n.max() - w_a.max()) / w_a.max():.2e}")

Grafické výsledky

Prů­hy­bové čáry obou řešení jsou vykres­leny na násle­du­jí­cím obrázku.

Sta­tické schéma úlohy se stej­no­jmen­ným sou­bo­rem z jiné složky:

Zdroj vs. výsledek

Tento doku­ment vznikl z pros­tého Mar­kdownu. Násle­du­jící blok je doslovný zdro­jový text (uvnitř bloku kódu se typo­gra­fická pra­vi­dla záměrně neu­plat­ňují):

Nosník o rozpětí 6 m nese zatížení 10 kN/m; průhyb w_max = 9,65 mm
"vyhoví" i pro mezní stav 1/250 - viz obr. 1. Teplotní rozsah 10-20 °C,
plocha 40x60 mm, 1 000 000 cyklů, posudek dle ČSN EN 1990 s. 12.
Vzorec $w_{\max} = 5qL^4/(384EI)$ i cesta C:\data\vstup.md zůstávají
netknuté.

A takto ten­týž text vysází mdprint:

Nos­ník o rozpětí 6 m nese zatí­žení 10 kN/m; prů­hyb w_max = 9,65 mm „vyhoví“ i pro mezní stav 1/250 – viz obr. 1. Tep­lotní roz­sah 10–20 °C, plo­cha 40×60 mm, 1 000 000 cyklů, posu­dek dle ČSN EN 1990 s. 12. Vzo­rec $w_{\max} = 5qL^4/(384EI)$ i cesta C:\data\vstup.md zůstá­vají netknuté.

Roz­díl je v detai­lech, které roz­ho­dují o čitel­nosti sazby: české uvo­zovky, pomlčka místo spo­jov­níku, en dash v roz­sahu, znak náso­bení, úzká mezera v tisí­co­vých sku­pi­nách a nezlo­mi­telné mezery za jed­no­pís­men­nými před­lož­kami, zkrat­kami i mezi čís­lem a jed­not­kou. Mate­ma­tika se vysází, kód a cesty zůsta­nou beze změny.

Závěr

Nume­rické řešení se od ana­ly­tic­kého liší o méně než 0,01 %, což potvr­zuje správ­nost obou pří­stupů. Inline vztah $w(x) = \frac{q x (L^3 - 2Lx^2 + x^3)}{24 E I}$ lze proto bez obav pou­ží­vat pro rychlé posou­zení². Defi­niční obor:

Mezní stav pou­ži­tel­nosti

Stav, při jehož pře­kro­čení pře­stává kon­strukce plnit pro­vozní poža­davky, ačkoli nedo­chází k jejímu poru­šení.